Я занимаюсь исследованием корректности задач со свободными границами для систем законов сохранения. В основном я рассматриваю задачи для симметризуемых гиперболических систем законов сохранения, примерами которых являются, скажем, уравнения газовой динамики или уравнения магнитной гидродинамики идеальной сжимаемой жидкости. Задача с граничными условиями на сильном разрыве (например, на ударной волне) или задача со свободной границей «плазма-вакуум» являются типичными примерами задач со свободными границами, которые я изучаю. Конечной целью моих исследований является нахождение условий корректности таких задач и доказательство их локальной по времени разрешимости в соболевских пространствах при выполнении найденных условий корректности в начальный момент времени.

Некоторые мои важнейшие результаты, имеющие наибольшее влияние на жизнь и науку:

доказано локальное по времени существование тангенциального разрыва в магнитной гидродинамике идеальной сжимаемой жидкости при выполнении найденного достаточного условия корректности задачи;

доказано локальное по времени существование контактного разрыва для двумерных уравнений магнитной гидродинамики идеальной сжимаемой жидкости при выполнении условия Рэлея-Тейлора в каждой точке начального разрыва;

доказана теорема о локальной разрешимости в пространствах Соболева задачи со свободной границей «жидкость-вакуум» для нерелятивистских и релятивистских уравнений Эйлера сжимаемой жидкости;

доказана теорема о локальной разрешимости в весовых пространствах Соболева задачи со свободной границей «плазма-вакуум» для уравнений магнитной гидродинамики идеальной сжимаемой жидкости;

найдены условия сильной корректности, слабой корректности и некорректности двумерной задачи для быстрых магнитогидродинамических ударных волн.

Проводимые мною исследования имеют фундаментальный характер, т.е. важны прежде всего для развития фундаментальной науки, а именно, для теории уравнений с частными производными и математической теории течения сплошных сред. Однако большинство исследований проводятся мною для конкретных физических моделей (в частности, для системы уравнений магнитной гидродинамики) и могут иметь приложения к астрофизике, физике плазмы, реологии и т.д. Так, например, найденное мною достаточное условие корректности задачи для тангенциальных магнитогидродинамических разрывов в астрофизике трактуется как условие макроскопической устойчивости гелиопаузы (границы солнечной системы), а исследованные мною контактные магнитогидродинамические разрывы наблюдаются за астрофизическими ударными волнами, ограничивающими остатки сверхновой, или, например, появляются в результате взаимодействия множественных ударных волн, порождаемых быстрыми корональными выбросами массы.

Да, поддерживается грантами РНФ и РФФИ.

Исторически так сложилось, что у нас в России задачи со свободными границами, которыми я занимаюсь – вотчина механиков. Поэтому математические аспекты теории этих задач (например, их локальная разрешимость) не являются у нас популярными. Так что я сотрудничаю в основном с иностранными исследователями. В настоящее время наиболее тесное сотрудничество установилось у меня с итальянскими и китайскими математиками.

Откровенно говоря, т.к. я занимаюсь фундаментальной наукой, то хотелось бы, чтобы студент был нацелен на продолжение своей научной деятельности после получения диплома бакалавра или магистра. Это предполагает поступление в аспирантуру НГУ или Института математики СО РАН. При наличии желания студента можно также найти возможность поступления его в аспирантуру заграницей. С другой стороны, будучи реалистом, я понимаю, что очень большой процент выпускников ммф наукой после окончания университета не занимается, а находит работу, например, в сфере IT. Скажу честно, что, т.к. мои исследования не связаны с вычислительной математикой и программированием, то специализирующийся у меня студент не приобретет каких-то новых для себя навыков в сфере IT. С другой стороны, если студент заранее знает, что не будет заниматься наукой после окончания университета или поймет это в процессе специализации, то я могу предложить ему какую-нибудь, скажем условно, более техническую задачу, достаточную для успешной защиты диплома на кафедре дифференциальных уравнений. В этом случае перспективы его трудоустройства в прикладных областях и т.д. будут зависеть от него самого и полученных им в университете знаний.

Можно сказать, что исследовательская деятельность ведется традиционным образом. То есть вначале со студентом обсуждается постановка задачи, затем ставятся перед ним конкретные цели ее исследования, после этого периодически (как правило, раз в две недели, но если необходимо, то чаще) мы обсуждаем текущие вопросы и возможные промежуточные результаты и т.д. Конечно, если требуется, то студенту рекомендуется определенная специальная литература.

Прежде всего необходимы знания основных курсов уравнений математической физики и дифференциальных уравнений. Желательно также знание английского языка, достаточное для понимания статей в научных математических журналах.

В данный момент я мог бы предложить, например, исследование корректности задачи для ударных волн в эластодинамике (описывающей течение упругих материалов). Другим направлением исследований могло бы стать, скажем, изучение возможной некорректности задачи для контактного магнитогидродинамического разрыва.

Я, как правило, не предъявляю каких-то формальных требований к студентам. Главное – желание работать, а возможные пробелы, например, в уравнениях с частными производными, мат. анализе, функциональном анализе и т.д. всегда можно восполнить в процессе исследований. С другой стороны, выбор конкретной задачи, которая будет предложена студенту будет все таки зависеть от уровня его знаний и исследовательского потенциала.