Для описания механических, химических и физических процессов используются математические модели. Это системы дифференциальных, интегральных, а иногда и просто алгебраических уравнений. Изучение моделей и компьютерные расчеты позволяют предсказать поведение объекта. Для одного и того же явления можно предложить много математических моделей, которые отличаются как точностью описания, так и своей сложностью. Недостатки слишком сложных моделей состоят в трудности их математического исследования и численной реализации. В то же время, неграмотное упрощение сложных моделей может привести к проблемам, связанных с их непротиворечивостью и математической корректностью и, как следствие, к проблемам с компьютерными расчетами и адекватностью описания изучаемого процесса. Математики занимаются изучением не реальных объектов (этим занимаются экспериментаторы), а их математических моделей. При этом для удобства часто используется терминология из соответствующей прикладной области: скорость, плотность, давление и т. д. Я исследую краевые задачи и свойства их решений для математических моделей механики сплошных сред (течения жидкости, распространение тепла, фазовые переходы и др.). В одном из следующих пунктов перечислены направления исследований, которыми я занимаюсь в последнее время.

В своей научной жизни я занимался многими различными задачами и для каждой из них получены важные, на мой взгляд (и не только на мой), результаты. Я думаю, не имеет особого смысла их описывать. Абсолютное большинство моих работ носит теоретический характер. В них исследуются модели механики сплошных сред с точки зрения математика, то есть исследуется корректность соответствующих краевых задач, а также свойства их решений. Мне кажется, для студентов важнее вопрос о том, какие задачи предлагаются им и каковы перспективы их решения. Об этом будет сказано далее.

Как я уже сказал, я занимаюсь в основном теоретическими исследованиями, но они связаны с моделями реальных явлений и процессов. То есть получив какой-нибудь результат, я могу представить себе его механическую или физическую суть. Иногда приходится решать прикладные задачи. Например, несколько лет назад мы исследовали (включая расчеты на компьютере) процесс гидроразрыва пласта для нефтяников. Следует сказать, что при этом сильно помогли навыки теоретика.

Зарплата научного сотрудника невелика, и без грантов ему выжить сложно. Я постоянно участвую в каких-либо проектах, которые увеличивают мой доход примерно в два раза. Студентов при этом, конечно, тоже не забываю, тем более что сейчас необходимо отдавать молодым определённый процент. Например, в проекте РНФ молодым идёт не менее 35%. Однако проекты – вещь ненадёжная. Сегодня есть – завтра нет, причём уровень исследований зачастую не играет определяющей роли. Поэтому надо быть готовым ко всему.

У меня довольно много знакомых математиков как за рубежом, так и в России, но о сотрудничестве с ними речи не идёт. По моему мнению, исследовательская работа в математике выполняется в одиночку. Конечно, можно с кем-нибудь проконсультироваться или посоветоваться, но основная работа предполагает индивидуальные размышления. Тем не менее, я много раз ездил за границу и провёл там несколько лет. В прошлом году моя аспирантка ездила на два месяца на стажировку в Грецию.

Всё зависит от самого студента. Я могу помочь ему получить хорошее образование, с которым он может устроиться в любой области. Оговорюсь, что в области компьютеров и вычислительной математики я не специалист, поэтому считать не научу. Составлять программы (например, на FreeFEM) мне приходилось, но настоящий вычислитель назовёт это баловством.

У меня было немного студентов, но они не жаловались. Один мой студент из Мюнхенского технического университета сейчас является полным профессором и заведует кафедрой в Дрездене. Одна студентка НГУ уехала по программе во Францию (в Нормальную школу) и сейчас работает в Париже. Однако моя роль в их успехах незначительна, я лишь помог в выборе направления исследований. Последняя моя студентка победила на МНСК, дважды её работы признавались лучшими среди молодых учёных Института гидродинамики. Сейчас она готовит кандидатскую диссертацию. В настоящее время у меня студентов нет.

Всё зависит от самого студента. Если у него большие планы (например, аспирантура, кандидатская или докторская диссертации), то от него требуется неплохое знание базовых предметов. Кроме того, необходимо определённое трудолюбие. У меня был один студент, который целый год практически ничего не делал, но в апреле принёс сносную работу. Я даже предложил ему аспирантуру, но через год его оттуда отчислили. Сказалось отсутствие навыков к труду. Если же в планах студента лишь университетский диплом, то особых требований к уровню знаний нет, однако усердие в работе всё же нужно.

Ниже перечислены направления исследований, которыми я занимаюсь в последнее время и по которым могу предложить задачи для самостоятельного (с моей помощью) решения.

1. Динамика абсолютно твердого тела в вязкой несжимаемой жидкости. Тело предполагается недеформируемым и движется под действием окружающей его жидкости. Примером вязкой несжимаемой жидкости может служить вода, масло, мёд и др. Имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений (для описания движения тела) и уравнений с частными производными (для описания течения жидкости). Задача состоит в доказательстве разрешимости соответствующей краевой задачи и определении качественных свойств решения. Например, мною математически доказано, что в рамках системы уравнений Навье – Стокса тело может подходить к стенке (границе области течения) только с нулевой скоростью, не может катиться по стенке. Эти результаты, кстати, потом были подтверждены экспериментально. Данной задачей занимаются многие исследователи как в России, так и за рубежом. Получено много результатов, но остается ещё много невыясненных вопросов.
   
   
2. Течения идеальной (невязкой) несжимаемой жидкости. В зависимости от масштабов течения к таким жидкостям можно отнести и воду, и воздух. Эта задача заинтересовала меня в связи с таким природным явлением, как торнадо (смерч). К сожалению, строгие математические постановки соответствующих задач слишком сложны, поэтому пришлось ограничиться некоторыми более простыми задачами, хотя их простота относительна. Совместно с моей аспиранткой нам удалось доказать однозначную разрешимость двумерной задачи о течении идеальной жидкости со свободной границей и сингулярным точечным стоком на дне. Например, представьте себе реку, на дне которой расположен сток, т. е. вода откачивается. Поверхность воды при этом является неизвестной и подлежит определению. Исследованы многие качественные свойства решения, например, показано, что свободная граница является аналитической кривой всюду, кроме точки над стоком, где граница имеет касп (заострение). Можно рассмотреть и другие задачи, но приоритетом для меня является наличие стока, чтобы делать небольшие шаги в направлении задачи о торнадо.
   
   
3. Хаотичная динамика полимерной молекулы в воде. Эта задача возникла у меня при моделировании биологического наносенсора, определяющего наличие какого-либо протеина в растворе. Описание принципа работы наносенсора требует пары страниц, которых, к сожалению, нет. Математическая модель представляет собой необычное уравнение с частными производными. Это уравнение имеет параболический тип, но содержит член включающий интеграл от решения по всему интервалу времени решения задачи. То есть для определения этого члена мы должны знать «будущее», что необычно для параболических уравнений. Нарушается принцип причинности. Дело в том, что роль времени в этом уравнении играет длина дуги вдоль полимерной цепочки, а искомая функция (решение) есть плотность вероятности того, что звено находится в заданной точке пространства. Поскольку каждое звено цепи взаимодействует со всеми остальными через окружающую жидкость, потенциал взаимодействия будет зависеть от интеграла от решения по всей длине цепочки. Эта задача допускает различные обобщения. К настоящему моменту удалось доказать её разрешимость в упрощенной постановке и единственность решения для достаточно коротких цепочек. Предложенные направления исследований довольно сложны в математическом плане и требуют довольно больших усилий да и хорошей подготовки. Для начала можно поставить простые задачи, которых будет достаточно для защиты курсовой работы и магистерской диссертации. Если студент рассчитывает на что-то большее (кандидатскую или докторскую диссертации), в дальнейшем задачи можно усложнить.

Каждый руководитель хочет руководить студентом со средним баллом 5, но это не всегда сбывается. В то же время есть хорошие студенты, у которых не такой высокий балл. Я думаю, что со студентом, у которого балл ~3,5, уже можно работать. Обычно ниже оценки у тех, кто учится неохотно.