Мои научные исследования направлены на создание методов численного моделирования сложных объектов и процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Эта работа включает создание новых способов приближения решений таких уравнений; разработку быстрых вычислительных алгоритмов, позволяющих получать решения с гарантией точности в тех задачах, где другие методы не работают; реализацию алгоритмов на персональных ЭВМ и кластерах с организацией масштабных вычислений и сравнением их результатов с теоретическими постулатами и данными естественных экспериментов.

Мои интересы связаны с двумя актуальными направлениями современной науки. Первое направление - описание течений полимерной жидкости с учётом микроскописческой структуры полимеров (задачи тесно связаны с созданием новых материалов и технологий производства электронных устройств нового поколения на гибком носителе). Второе направление – физика волновой турбулентности. Многие открытые проблемы физики связаны с нелинейным случайным взаимодействием волн. Аккуратная реализация вычислительного эксперимента здесь служит ключевым этапом для проверки существующих и разработки новых теорий.

Из основных результатов отмечу новый метод численного решения краевых задач для систем нелинейных уравнений с частными производными. За счёт специального подхода к аппроксимации функций и операторов метод позволяет достигать точности машинной арифметики (14-15 знаков), а также проводить быстрые расчёты на персональной ЭВМ в двухмерных и трёхмерных задачах, которые в случае применения других методов обычно решаются на суперкомпьютерах.

Есть результаты по созданию новых моделей и методов для анализа течений полимерной жидкости, для описания процесса переноса зарядов в физике полупроводников и для описания неклассических спектров в задачах волновой турбулентности.

Мои результаты представляют собой инструмент решения нескольких актуальных задач. В целом же решение таких задач возможно только при интеграции и совместной работе лидеров в области современной физики и прикладной математики. Работа каждого учёного в таком "консорциуме" является полезной и может оказать существенное влияние на исход дела. Однако спрогнозировать заранее, какие именно результаты окажутся ключевыми в таких исследованиях, затруднительно.

Мои исследования касаются приложения фундаментального аппарата теории приближения, дифференциальных уравнений и вычислительной математики для решения задач, имеющих прямое отношение к приложениям. Однако имеет место и обратный процесс: идеи, которые успешно сработали при решении той или иной сложной задачи зачастую удаётся пересмотреть и обобщить для применения к решению более широкого класса задач. Так появляются новые теоретические результаты: методы анализа определённых классов уравнений, оценки погрешности решений, теоремы, описывающие структуру и особенности решений и т.п. В общем, в большинстве результатов можно усмотреть как прикладную, так и теоретическую значимость.

Да, моя работа поддерживалась и поддерживается грантами. Среди основных грантов, в которых я являлся/являюсь руководителем отмечу поддержку Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере (фонд Бортника), программа "УМНИК" и гранты Российского научного фонда (соглашения № 17-71-10135 и 20-71-00071). Считаю, что активное и результативное участие молодых исследователей в научных проектах должно вознаграждаться.

Сотрудничаю с двумя научными группами во Франции. Первая группа под руководством профессора А. Гессаба (Университет города По) занимается разработкой кубатурных формул для численного интегрирования в многомерных задачах сложной геометрии с контролем погрешности и приложением этих методов для создания новых типов методов неконформных и расширенных конечных элементов. Вторая группа под руководством мирового лидера в области физики волновой турбулентности, С.В. Назаренко (Университет города Ниццы), занимается анализом спектров в прямых и обратных турбулентных каскадах бозе-газа, альвеновских волн, гравитационных волн, сверхтекучих жидкостях и других приложениях.

Прежде всего, мне хотелось бы подготовить востребованных специалистов для научных исследований, магистров и кандидатов наук. Здесь есть много перспектив: работа в России в передовых научных группах, выполняющих проекты в НГУ и институтах СО РАН, а также за рубежом. Тем не менее, навыки, приобретённые при специализации, будут полезны при трудоустройстве в компании, занимающиеся наукоёмким программированием и оказанием услуг по расчёту тех или иных процессов. Достаточно хорошим примером является компания Шлюмберже.

Есть несколько простых принципов, которым я стараюсь следовать. 1. Научная работа должна быть основана на интересе: то, чем занимаюсь я и чем предлагаю заниматься своим студентам, должно быть интересно всем нам. 2. Всячески поощряю творческий подход, возникновение и обсуждение новых идей, методов и т.п.; 3. студент не должен оставаться "один-на-один" c поставленной задачей: стараюсь постоянно общаться, помогать, в том числе, с техническими вопросами (например, с отладкой кода), вместе работать над первыми публикациями и презентациями. 4. Считаю полезным участие в научных конференциях, семинарах, воркшопах и т.п.: наука – это, прежде всего открытость, и умение делиться идеями.

Количество студентов – не больше трёх.

Достаточно знания и понимания базовых дисциплин ММФ, преподаваемых на первых трёх курсах. Важными качествами молодого исследователя считаю нестандартное мышление и целеустремлённость.

Тематики непосредственно связаны с моими научными интересами. Разработка новых методов численного решения нелинейных дифференциальных уравнений. Приложение этих методов для исследования течений полимерной жидкости, возникающих в дюзах 3D принтеров, распылителях, экструдерах и других технологических устройствах. Приложение разработанных методов для решения задач физики волновой турбулентности.

Как правило, я предлагаю студентам до или сразу после начала специализации прослушать мой полугодовой спецкурс "Методы без насыщения в прикладных задачах математической физики". Хорошая успеваемость по курсам вычислительных методов, дифференциальных уравнений и математическому анализу приветствуется, но не является обязательной. Требований по среднему балу не предъявляю. Вместо этого, считаю целесообразным, дать студенту задание, связанное с дальнейшей специализацией, пообсуждать его решение и в целом обсудить ряд научных вопросов, прежде чем приступать к работе.