Я занимаюсь алгеброй. В основном, мои исследования относятся к теории групп, т. е. они связаны с изучением различных важных свойств разных групп (например, групп матриц, таких как группа всех обратимых матриц, группа матриц с единичным определителем, группа ортогональных матриц, группа треугольных матриц и т. д.).

Особо интересными я считаю исследования, которые связывают несколько областей математики. Например, сейчас я уделяю большое внимание приложениям алгебры в теории узлов. Одной из важных задач теории узлов является задача распознавания эквивалентности двух узлов. Для решения этой задачи можно использовать алгебраические методы. Например, каждому узлу можно сопоставить некоторую группу так, чтобы эквивалентным узлам сопоставлялись изоморфные группы. Если нам это удалось сделать, то для того чтобы понять являются ли два узла эквивалентными (это топологическая задача), нужно понять являются ли группы, сопоставленные этим узлам изоморфными (это алгебраическая задача), а для определения (не)изоморфности двух групп можно уже использовать разные полезные свойства этих групп.

Достаточно скоро я буду защищать докторскую диссертацию, и для защиты, в частности, нужно ответить на точно такой же вопрос. В диссертации это было сделать легко, т. к. я понимаю, какие из моих результатов более значительные, а какие менее значительные, и могу это явно написать забористым математическим текстом. Здесь же ответить на этот вопрос мне сложнее, т. к., насколько я понимаю, ответ на данный вопрос прочитают студенты, которые наверное хотят что-то понять в ответе.

В качестве важнейшего результата я расскажу об одном моём результате, относящимся к теории узлов. Этот результат состоит в построении полного инварианта для узлов с двойными спайками. Теория узлов с двойными спайками – это некоторое упрощение теории виртуальных узлов, которая в последние годы набрала очень большую популярность среди алгебраистов и топологов по всему миру. Мой результат состоит в том, что мне удалось придумать как каждому узлу с двойными спайками сопоставить бесконечную последовательность из целых чисел, такую что узлы эквивалентны тогда и только тогда, когда сопоставленные этим узлам последовательности полностью совпадают.

Этот результат прекрасен всем.
Во-первых этот результат является необходимым и достаточным условием эквивалентности (при том что многие результаты в этом направлении часто являются просто необходимыми условиями).
Во-вторых этот результат очень легко использовать. Для того, чтобы понять эквивалентность двух узлов с двойными спайками, достаточно сравнить две последовательности из целых чисел, что является исключительно легкой задачей.
Наконец, в-третьих, доказательство этого результата выглядит как некоторое волшебство, т. к. оно использует как алгебраические так и топологические методы. Каждому узлу с двойными спайками сопоставляется элемент некоторой группы (так называемой группы кос), после этого уже по этому элементу из группы специальным образом строится последовательность из целых чисел.

Перебрав в голове все свои результаты, я осознал, что все мои результаты носят теоретический характер, и не применяются (хотя может быть и могут?!) в прикладных областях.

Я знаю, что узлы широко используются в физике, в статистической механике. Они связаны с уравнением Янга-Бакстера, которое является одним из центральных в этих науках. При этом, я прекрасно понимаю, как уравнение Янга-Бакстера связано с узлами и косами (которыми я занимаюсь), но я совсем не понимаю, как это уравнение применяется в физике.

Я готов углубиться в эту тему вместе со студентами, которым интересна именно физическая подоплека задач, связанных с теорией узлов.

Да, конечно поддерживается. Если я не ошибаюсь, то я был исполнителем где-то в 5 грантах РФФИ и 4 грантах РНФ. При этом в одном гранте РНФ, который действует прямо сейчас, я являюсь основным исполнителем, что является достаточно редким явлением для исследователя в моем возрасте (мне 29). Помимо этого я работаю научным сотрудником в одной из лабораторий Математического Центра в Академгородке.

Здесь я также отмечу, что молодым исследователям (и особенно талантливым молодым исследователям), в том числе студентам, гораздо легче попасть в грант чем ученым в возрасте. Бывают даже гранты только для молодых ученых.

Как я уже говорил, мои исследования носят теоретический характер, поэтому я пока не имел удовольствия рабочего сотрудничество с какими-либо компаниями.

При этом по научной части я работаю с достаточно большим количеством исследователей со всего мира. После защиты кандидатской диссертации (2015 год) я уехал на 4 года поработать в Европе. Я работал 1 год в Университете Болоньи (Италия) и 3 года в Университете Лёвена (Бельгия). За эти 4 года я посетил более 20 стран, пообщался с большим количеством исследователей из разных стран, и как следствие, нашел новых друзей и партнеров. Сейчас у меня есть совместные статьи с исследователями из Аргентины, Бразилии, Индии, Италии, Польши, России, США. С большинством из этих исследователей мы продолжаем поддерживать как профессиональные так и дружеские отношения.

Конечно, я уверен, что, специализируясь у меня, у студента есть большие шансы найти работу в исследовательском институте или университете, чтобы там заниматься наукой и преподаванием. При этом, конечно, работать в любой другой области диплом под моим руководством не помешает.
Если предположить, что из моего ученика получится некоторая ранняя версия меня, то можно сказать, что студент, который будет у меня специализироваться, как и я, сможет найти работу в западном университете и посетить с научными визитами много стран. Если этого не предполагать, в любому случае я могу с уверенностью сказать, что у студента будет возможность посещать международные конференции и работать в ведущих научных центрах.

На данный момент у меня специализируется одна очень талантливая студентка второго курса Елизавета Мархинина. При этом я удивлен, что у меня уже есть одна студентка, т. к. я вернулся в Россию только в ноябре 2019 года и практически еще не знакомился со студентами. Работая в Бельгии я также был научным руководителем одной студентки магистратуры.

В рамках специализации, я предлагаю потенциальному студенту решить несколько задач из разных областей, в которых я разбираюсь, чтобы студент мог выбрать, какая же тема ему ближе всего. После того, как студент определится с темой, которая ему нравится, я тщательно изучаю последние статьи по этой теме в поисках задачи, которая под силу студенту, но при этом является полноценной научной задачей (в этом мне помогает мой научный руководитель, известный специалист по алгебре и теории узлов, замечательный ученый Валерий Георгиевич Бардаков). Далее студент пытается решить эту задачу, периодически встречаясь со мной и задавая вопросы. В случае, если студент совсем застопорился с решением, я могу предложить ему некоторые подсказки.

На начальном этапе вполне достаточно знаний в объеме первых курсов университета. Предпочтительно, чтобы у студента была пятерка по курсу «Высшая алгебра». Также, скорее всего, если студент начнет у меня специализироваться, то для комфортной работы ему постепенно придется посетить почти все специальные курсы кафедры алгебры и математической логики НГУ.

Если говорить о задачах, которые я уже предлагал студентам, то в моих двух случаях научного руководства я предлагал задачи, связанные с той математикой, которой я сам занимаюсь (группы, узлы и тому подобное), чтобы в этой области я был достаточно экспертен, чтобы в случае чего я смог бы дать студенту годный совет при необходимости.

Сейчас я начинаю задумываться о том, чтобы начать студентам предлагать задачи, в которых я ничего не смыслю, формулировку которых я услышал на той или иной конференции. Так у меня есть шанс вместе со студентом разобраться в какой-то новой для себя области. Это я обязательно начну делать, но не в этом и не в следующем году.

Сейчас я готов предложить студентам задачи, в которых я что-то понимаю. Это задачи по забористой теории групп (разные свойства групп, которые по той или иной причине интересны) или что-то, что касается разных алгебраических систем, возникающих в теории узлов и вокруг этого (здесь группы, группы кос, квандлы, биквандлы, брэйсы и тому подобное).

Каких-то формальных требований у меня нет, Но есть одно требование, которое сложно назвать формальным – это наличие страсти. Увидеть наличие или отсутствие страсти может практически любой человек (не обязательно даже исследователь).

Добавлю еще, что предполагаемый диплом будет интересным и достаточно сложным. Придется поработать.