Я занимаюсь алгеброй. В частности, теорией групп и теорией колец, а также их приложениями в маломерной топологии. Меня всегда привлекали алгебраические методы в геометрии и топологии. Приведу простой пример. Одна из основных проблем топологии - классификация многообразий с точностью до гомеоморфизмов (гомеоморфизм - непрерывное отображение, обладающее непрерывным обратным). Как проверить: существует ли гомеоморфизм 2-мерной сферы на 2-мерный тор? На первый взгляд задача вообще неподъемная. Как обозреть все отображения сферы на тор и выбрать непрерывное? Что делать если гомеоморфизма вообще не существует? На помощь приходит алгебра. Каждому многообразию можно сопоставть его фундаментальную группу, которая не меняется при гомеоморфизмах. Следовательно, если два многообразия имеют разные фундаментальные группы, то они не гомеоморфны. В нашем примере фундаментальная группа 2-мерной сферы тривиальна, а группа 2-мерного тора - двупороденная абелева группа. Все. Гомеоморфизма не существует.

Аналогичные методы используются в теории узлов, а также в различных ее обобщениях: теории виртуальных узлов, теории сингулярных узлов и т. д.

Теория узлов — классическая область маломерной топологии, переживающая в последние десятилетия второе рождения. Открытие Джонсом нового полиномиального инварианта, породила целый поток научных публикаций в этом направлении. Были построены новые полиномиальные инварианты, были введены инварианты конечного порядка — инварианты Васильева, появились квантовые инварианты. Также были определены аналоги классических узлов: виртуальные узлы, узлы со спайками, сингулярные узлы. Для построения инвариантов были введены новые алгебраические системы. Интерес к исследованиям в этом направлении огромен. По теории узлов проводятся конференции, издаются специальные журналы, публикуются новые монографии.

К сожалению, я плохо знаком с прикладными исследованиями, но знаю, что узлы широко используются в физике, в статистической механике. Одно из главных уравнений в стат. физике — уранение Янга-Бакстера можно интерпретировать как соотношение в группе кос или как третье движение Рейдеместера в теории узлов.

Я являюсь исполнителем в нескольких грантах. Самый значительный из них это мегагрант под руководством ведущего ученого. В нашем гранте таким ученым является Луис Кауффман — один из ведущих специалистов по теории узлов и один из создателей теории виртуальных узлов, которая включает в себя классическую теорию узлов. Также являюсь участником Российско-Индийского гранта (руководитель — А. Ю. Веснин). В рамках этого гранта мы посещаем Индию, а индийские математики приезжают в наш Институт.

Мы сотрудничаем со многими ведущими вузами России. Например, с Московским университетом, Томским университетом, Красноярским. Также сотрудничаем с некоторыми университетами Франции, Италии, Индии.

В настоящее время правительство вкладывает большие деньги в развитие фундаментальной науки и образования. Поэтому у молодых ученых есть возможность заниматься наукой, а не думать лишь о том как обеспечить свое существование. Есть возможность посещать международные конференции и работать в ведущих научных центрах. Например, Тимур Ринатович Насыбуллов когда-то слушал мои лекции по алгебре, со второго курса начал самостоятельные исследования, к третьему курсу написал свою первую научную работу, на четвертом курсе получил медаль Российской академии наук за лучшую студенческую работу. После окончания магистратуры поступил в аспирантуру и к концу первого года защитил кандидатскую диссертацию. Затем работал в Италии, в Бельгии. В настоящее время вернулся в НГУ, читает лекции по алгебре в инженерных группах, готовит к защите докторскую диссертацию. С другой стороны, никто не требует, чтобы вы после окончания университета занимались фундаментальной наукой. Главное чему вы должны научиться — ставить задачу и находить решения, самостоятельно осваивать новые вещи. Эти навыки пригодятся в любой области.

Обычно мы встречаемся со студентами на спец. семинаре 'Эварист Галуа', где рассказываем либо о своих результатах, либо рецензируем интересные работы. Там же возникают какие-то интересные вопросы, которые мы предлагаем студентам.

В настоящее время у меня специализируется один студент и два студента второго курса определяются со специализацией. Один из них — Валерий Яхин доказал ряд интересных теорем и на последней студенческой конференции получил диплом второй степени.

На начальном этапе вполне достаточно знаний в объеме первых курсов университета, но при этом студент должен быть готов изучать те разделы математики, которые могут пригодиться в его исследованиях.

В последние годы появились новые алгебраические системы: квандлы, биквандлы, брэйсы и т. д. В этих областях еще мало, что известно, а потому любые результаты будут интересны специалистами.

Вообще, я предлагаю несколько задач на выбор. Студент должен сам понять, что ему интересно и чем бы он хотел заниматься. Один мой знакомый математик на вопрос о том, какую математику стоит изучать, ответил: 'Ту, от которой качает.' И это не просто красивая фраза. Проблема должна захватывать целиком. Вы изучаете все, что с ней связано, что известно к настоящему моменту, пытаетесь создать что-то новое, размышляете над ней, где бы вы ни были. Только так можно получить какие-то значительные результаты.

Никаких формальных требований я не предъявляю. Считаю, что главное это тяга к исследованиям, желание осваивать новое и увлеченность наукой. Высокие оценки не всегда гарантия того, что студент сможет получить сильные результаты. Если он привык работать 'от сих до сих', заучивая материал и, не вкладывая в работу душу, то ему будет тяжело добиться блестящих результатов.

Помните как Резерфорд набирал сотрудников в свою лабораторию? Ставил перед притендентом задачу и если тот приходил через некоторое время со словами: 'Я все сделал. Что делать дальше?', его кандидатура отклонялась. Настоящий исследователь, решив задачу видит, что за ней стоит масса других задач и в этом плане его не надо подталкивать. Он сам способен формулировать вопросы и искать ответы на них.